11月10日下午3点，“数学之美”系列讲座第四讲在图书馆南配楼艺术鉴赏厅举行，本次讲座由图书馆、数学科学学院和北京科技情报学会青年工作委员会联合举办。北京大学博雅特聘教授郭帅以“计数几何与镜像对称”为题介绍了计数几何领域相关的研究，并阐述了其与镜像对称性的深刻联系，展示了这种对偶性的数学之美。来自全校各院系的几十名同学报名参加了此次讲座。

讲座现场

郭帅从三个部分展开讲座。第一部分介绍了计数几何问题的起源和发展。郭帅从较为简单的古典计数几何问题切入，通过“与三个一般位置的圆每个都相切的圆有几个”“与一般位置的圆锥曲线都相切的圆锥曲线有几条”“过平面内五个点有几条圆锥曲线”与“与空间内给定四条线有几条线相交”等几个问题，引出了计数几何的基本特征——主要解决与位置相关的曲线计数问题。然后介绍了一个较为复杂的古典计数几何问题：给定次数d，在五次卡拉比-丘三维空间中有多少条d次曲线。他随后介绍了一些古典计数几何问题的发展，如Schubert演算法、数量守恒定律与希尔伯特第15问题等。为了帮助同学们更好地理解这个专业性较强的问题，郭帅举了多个相关的例子，包括二次曲面中的直纹面、三次曲面上的直线条数、过平面9个点的三次曲线等。在对这些古典计数几何问题进行详细介绍后，郭帅点明现代计数几何的主要理论基础是Gromov-Witten 不变量，其定义为稳定映射模空间上的相交数。之后郭帅还对“模空间”这一较为抽象的概念进行了举例讲解。

郭帅作讲座

第二部分介绍现代计数几何中的结构。郭帅着重讲解了一些关键概念，比如Gromov-Witten 势函数、量子乘积及其结合律。Gromov-Witten位势函数F与拓扑弦理论中的自由能相关——物理上实现为费曼路径积分，对应到数学上则定义为计数不变量的生成函数。量子乘积的结合律性质，给了势函数F很强的约束。将该性质应用到平面计数问题中，可以得到一个关于势函数的精确方程，其等价于计数不变量的一种递归式。由此，给出关于任意次数平面有理曲线计数问题的一种有效算法。郭帅也补充了“曲线退化情形”的相关内容：退化会影响到曲线的亏格和“模空间”的维数。最后，郭帅讲解了高亏格的结构计算——运用费曼图方法。

第三部分介绍了镜像对称在计数几何中的应用。郭帅首先回顾了数学中的拓扑不变量这一概念，并举最经典的不变量——欧拉示形数来说明。接着郭帅介绍了两个互为镜像的卡拉比-丘空间的两个性质——其欧拉示形数互为相反数；更进一步其Hodge矩阵互为转置。这一性质可以进一步用于找到卡拉比-丘的更多精细信息，一般来讲，在一边是困难的问题，在另一边也许会变得简单。郭帅介绍了镜像流形上的周期积分与镜变换。通过应用镜像变换，可以将原本复杂的正规化的汤川耦合函数变为一个极其简单的有理函数，这便是镜像对称猜想。这一猜想实际上给出了一种一次性得到全部计数不变量的方法。而对于高亏格的相关问题，郭帅指出也存在另一种与费曼图相关的猜想——BCOV猜想。特别地，对于五次超曲面这一典型卡拉比-丘流形，其BCOV猜想在数学上由郭帅-李骏-李卫平-张怀良以及郭帅-Felix Janda-阮勇斌分别独立证明。综合以上两种情况，物理中通过费曼路径积分（不严格定义）的传播子可以有一个（数学上严格的）代数几何解释。郭帅展示了通过镜像对称得到的数据，并讲解了计算它们的意义：在数学上，除了作为一种基础的几何不变量，还与其他数学分支产生关联，包括计数几何、热带几何、Donaldson-Thomas理论、双有理几何等；在物理上，计数不变量的渐进性和黑洞熵紧密联系，具体不变量的数值则涉及到弦现象学。总而言之，这一理论有非常大的发展前景。

学生提问

提问交流环节，现场的同学积极发问，就表中最后数据为何会出现负数、流形与卡拉比-丘的概念、量子乘积的得名等问题提出自己的疑惑，郭帅耐心细致地一一作了解答。这场专业性强，不失趣味性与通俗性的讲座在听众热烈的掌声中结束。

主讲嘉宾简介：

郭帅，北京大学博雅特聘教授，数学科学学院数学物理教研室主任，主要研究领域是拓扑弦理论和计数几何。曾荣获求是杰出青年学者奖、国家杰出青年科学基金、教育部青年科学奖等多项荣誉和奖励。在最近的一系列工作中，郭帅通过独有的计算技术，成功证明了紧致Calabi-Yau五次超曲面上全亏格镜像对称和高亏格Gromov-Witten不变量的一系列结构性猜想，其中包括该领域20多年来一直悬而未解的核心问题之一：BCOV猜想。迄今，在包括Annals of Mathematics，Forum of Mathematics，Pi等国际顶尖数学杂志上发表多篇论文。

文字：陈家铭、陈煜麟| 摄影：周墨